โจทย์เกี่ยวกับสมการวงกลม

สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) จะเขียนอยู่ในรูป

                x² + y² = r²

โดยที่ r คือรัศมีของวงกลม 

แต่ถ้าเป็นวงกลมที่ไม่ได้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดก็จะเขียนอยู่ในรูป

                (x-a)² + (y-b)² = r²

โดยที่ a คือค่าของ x ที่จุดศูนย์กลาง

           b คือค่าของ y ที่จุดศูนย์กลาง

           r คือรัศมีของวงกลม

ลองมาดูโจทย์เกี่ยวกับสมการวงกลมในวิชาคณิตศาสตร์และสถิติทั้งสองวิชา (96102 และ 30205)

โจทย์: จงหาสมการวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (4, 2) รัศมียาว 3 หน่วย 

(ฉันเอาโจทย์มาจากแบบฝึกปฏิบัติหน่วยที่ 2 ของชุดวิชา 96102 และเปลี่ยนแปลงค่าตัวเลขเล็กน้อย)

สมการจะอยู่ในรูป 
           (x-a)² + (y-b)² = r²

จากข้อมูลที่โจทย์ให้ a คือค่าของ x ที่จุดศูนย์กลาง ซึ่งในที่นี้คือ 4

                                   b คือค่าของ y ที่จุดศูนย์กลาง ซึ่งในที่นี้คือ 2

                                   r คือรัศมียาว 3 หน่วย

เพราะฉะนั้นก็จะเขียนได้ว่า  (x-4)² + (y-2)² = 3²  หรือ 

                                                 (x-4)² + (y-2)² = 9  คือคำตอบ

โจทย์: จงหาสมการวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1, -5) รัศมียาว 2 หน่วย

แทนค่าที่โจทย์ให้มาลงไปในสมการ (x-a)² + (y-b)² = r²

ก็จะได้ (x-[-1])²+(y-[-5])² = 2²

 

จัดระเบียบให้เรียบร้อยก็จะได้เป็น

(x+1)² + (y+5)² = 4

แต่ถ้าเขาให้โจทย์มาและให้เราหาจุดศูนย์กลางและรัศมีล่ะ

โจทย์: จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีจากสมการ x² + y² + 8x - 2y +1 = 0 

(ฉันเอาโจทย์มาจากแบบฝึกปฏิบัติหน่วยที่ 6 ของชุดวิชา 30205 และเปลี่ยนแปลงค่าตัวเลขเล็กน้อย)

เมื่อพิจารณาดู สมการที่เราสามารถใช้หาจุดศูนย์กลางและรัศมีได้ง่ายที่สุดนั้นน่าจะอยู่ในรูป

(x-a)² + (y-b)² = r²

ดังนั้นเราก็จะจัดสมการที่โจทย์ให้มาให้อยู่ในรูปนี้

จาก     x² + y² +8x -2y +1 = 0

ย้ายพจน์ที่ไม่มีตัวแปรอยู่ไปอีกด้านหนึ่ง            x² + y² +8x -2y = -1

จัดพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันไว้ด้วยกัน               (x² + 8x) + (y² - 2y) = -1

จัดพจน์ในวงเล็บให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ สำหรับฉันจะใช้วิธีเอา 2 ไปหารค่าที่อยู่หน้า x หรือ y ที่มีดีกรีกำลัง 1

            เพราะฉะนั้น สำหรับ x จะได้ 8/2 = 4    สำหรับจะได้  y -2/2 = -1

นำมาจัดให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

                (x + 4)² = x² + 8x + 16

                (y-1)² = y² - 2y + 1

เมื่อนำสมการรูปกำลังสองสมบูรณ์ที่เรากระจายแล้วไปเปรียบเทียบกับสมการที่เราทำค้างไว้ด้านบน 

(x² + 8x) เปรียบเทียบกับ (x + 4)² = x² + 8x + 16  

(y² - 2y) เปรียบเทียบกับ (y - 1)² = y² - 2y + 1

จะเห็นว่าหากเราจะใช้ (x + 4)²แทนที่ (x² + 8x) เราจะต้องลบ 16 จาก (x + 4)² เพื่อให้ได้ค่าเหมือนกับรูปเดิม

และหากเราจะใช้ (y - 1)² แทนที่ (y² - 2y) เราจะต้องลบ 1 จาก (y - 1)² เพื่อให้ได้ค่าเหมือนกับรูปเดิม

นำมาเขียนใหม่ได้ว่า                             (x + 4)² -16 + (y - 1)² - 1 = -1

ทำการย้ายข้างพจน์ที่มีแต่ตัวเลข        (x + 4)² + (y-1)² = 16 + 1 - 1

บวกลบพจน์ที่อยู่ทางด้านขวาให้เรียบร้อยจะได้ว่า

(x + 4)² + (y-1)² = 16 

ซึ่งอยู่ในรูปที่เราสามารถบอกจุดศูนย์กลางและรัศมีได้อย่างง่ายดาย

จุดศูนย์กลางคือ (-4, 1) รัศมีคือรากที่สองของ 16 = 4 คือคำตอบ